対応ある t 検定は 1 群検定，分散分析は 2 群以上の検定

井口豊（生物科学研究所，長野県岡谷市）
最終更新：2022 年 10 月 23 日

1. はじめに

検定と群数（標本数，サンプル数）の関係を，どうも理解していない人が多いようであり，代表的な例として，対応ある t 検定（paired t test）と分散分析（ANOVA）を取り上げる。

2. 対応ある t 検定とは何か？

対応ある t 検定は，対応するデータの差をとって 1 群（サンプル数 1）を作り，その 1 群（差データ）の平均が 0 であるかどうか検定するものである。ただし広義には，差がいくつであっても検定できる方法である。対応ある t 検定は 1 群だから，等分散かどうかという問題は生じない。筆算，いわゆる手計算でやれば，すぐ分かるのだが，Excel など統計ソフトに頼ると，教員が説明しない限りは，理解しないまま授業を終えてしまう。

例えば，次の表 1 のような対応あるデータ x1, x2 を考える。

表 1. 対応あるデータ x1, x2 とその差 d の表

x1	x2	d (= x2 - x1)
3	1	2
2	1	1
2	2	0
2	3	-1

この差 d の平均
(2 + 1 + 0 -1)/4 = 0.5
が 0 となるかどうかを検定するのが，対応ある t 検定である。

表 1 データに対して， R で，対応ある t 検定と差 d の 1 群検定をやってみる。なお， Excel による 1 群 t 検定の方法は，別ページに解説した（母比率の検定：カイ二乗検定，二項検定，Z検定，1標本t検定，逆正弦変換検定）。

# 対応あるデータ x1, x2 の t 検定

x1<- c(3, 2, 2, 2)
x2<- c(1, 1, 2, 3)

t.test(x1, x2, paired = T)

# 差データ d の t 検定

d<- x2 - x1

t.test(d)

どちらの結果も同じく，
t = -0.7746, df = 3, p-value = 0.495
である。

t 値の算出式を書くと，以下のようになる。

ここで， mean(d) は差データの平均， U² は差データの不偏分散， n は差データの個数（上の例では， n = 4）である。

この点が理解できていない学生が（教員も？）多い。

当然ながら，正規分布の検定も，差データ d に対して行なう。これを誤って， x1, x2 それぞれを正規性検定する人がいるので注意が必要である。

さらに，対応あるデータでも，関連性が無ければ，当然だが，独立 2 群（対応なし）の t 検定となる。それは，別ページに解説した（対応のある t 検定から線形混合モデルへ）。この点も，理解せず，対応あれば何でも，対応ある t 検定だと思っている人も多い。

3. 分散分析は，2 群以上の検定

分散分析は，2 群以上の検定であり， 2 群の場合が， t 検定や，いわゆる Welch 検定（等分散かどうか問わない検定）である。授業では，歴史的に？ t 検定を学ぶが，実用上は，不要と言える。このこともまた，あまり教えられていないようだ。

表 1 データを独立 2 群（サンプル数 2）のデータ x1, x2 として扱い， t 検定と分散分析で計算してみる。

### 等分散を仮定

x1<- c(3, 2, 2, 2)
x2<- c(1, 1, 2, 3)

# t 検定
t.test(x1, x2, var.equal=T)

# 分散分析
group<- rep(1:2, c(length(x1), length(x2)))
dat<- c(x1, x2)

oneway.test(dat ~ group, var.equal=T)

### 等分散かどうか問題にしない

# Welch t 検定
t.test(x1, x2, var.equal=F)

# Welch 分散分析
oneway.test(dat ~ group, var.equal=F)

結果は省略するが，等分散の場合も，等分散であってもなくても良い場合も， t 検定と二群の分散分析は同じ結果になる。

分散分析の場合， F 値が，
F (1, t 検定自由度）
となり， t 値の 2 乗に等しくなり，自由度 n の t 分布に従う統計量 t の 2 乗は，自由度（1， n）の F 分布に従う，という統計学上の定理を実感できる。

4. 1 群分散分析

さらに，一般線形モデル（General Linear Model）として分散分析を考えると， 1 群（1 標本）分散分析が， 1 群 t 検定と同等になる。これは別ページで解説した。

• 一般線形モデルとしての 1 群分散分析

5. Kruskal-Wallis 検定も 2 群以上の検定

ノンパラメトリック検定である Kruskal-Wallis 検定も 2 群以上の検定である。これも別ページで解説した。

• Kruskal-Wallis 検定を使えば U 検定は不要：漸近と正確検定