対応ある t 検定は 1 群検定，分散分析は 2 群以上の検定

井口豊（生物科学研究所，長野県岡谷市）
最終更新：2024 年 12 月 14 日

1. はじめに

検定と群数（標本数，サンプル数）の関係を，どうも理解していない人が多いようであり，代表的な例として，対応ある t 検定（paired t test）と分散分析（ANOVA）を取り上げる。

2. 対応ある t 検定とは何か？

対応ある t 検定は，対応するデータの差をとって 1 群（サンプル数 1）を作り，その 1 群（差データ）の平均が 0 であるかどうか検定するものである。ただしこれは，帰無仮説が「差が無い」という場合であって，実際には，任意の差に対して検定できる。

対応ある t 検定は 1 群だから，等分散かどうかという問題は生じない。筆算，いわゆる手計算でやれば，すぐ分かるのだが，Excel など統計ソフトに頼ると，教員が説明しない限りは，理解しないまま授業を終えてしまう。

例えば，次の表 1 のような対応あるデータ x₁, x₂ を考える。

表 1. 対応あるデータ x₁, x₂ とその差 d の表
x₁	x₂	d (= x₂ - x₁)
3	1	2
2	1	1
2	2	0
2	3	-1

この差 d の平均 m_d をまず求める。

\begin{align} m_d &= \frac{2 + 1 + 0 -1}{4}\\ &=0.5 \end{align}

この差の平均 m_d が 0 と言えるかどうかを検定するのが，対応ある t 検定である。

表 1 データに対して， R で，対応ある t 検定と差 d の 1 群検定をやってみる。なお， Excel による 1 群 t 検定の方法は，以下のページに解説した。

母比率の検定：カイ二乗検定，二項検定， Z 検定， 1 標本 t 検定，逆正弦変換検定。


#############
# 対応あるデータ x1, x2 の t 検定

x1<- c(3, 2, 2, 2)
x2<- c(1, 1, 2, 3)

t.test(x1, x2, paired = T)

# 差データ d の t 検定

d<- x2 - x1

t.test(d)
##############

どちらの結果も同じく以下のようになる。


###############
t = -0.7746
df = 3
p-value = 0.495
################

t 値の算出式を書くと，以下のようになる。

\begin{align} {\large t=\frac{m_d}{\sqrt{\frac{U^2}{n}}}} \end{align}

ここで， m_d は差データの平均， U² は差データの不偏分散， n は差データの個数（上の例では， n = 4）である。

この点が理解できていない学生が（教員も？）多い。

当然ながら，正規分布に従うかどうかのチェックも，差データ d に対して行なう。これを誤って， x₁, x₂ それぞれの正規性をチェックする人がいるので注意が必要である。

さらに，対応あるデータでも，関連性が無ければ，当然だが，独立 2 群（対応なし）の t 検定となる。この点を理解せずに，対応あれば何でも，「対応ある t 検定」と思っている人も多いようだ。これは，以下のページに解説した。

対応のある t 検定から線形混合モデルへ

3. 分散分析は，2 群以上の検定

分散分析（ANOVA）は，2 群以上の検定であり， 2 群の場合が t 検定（Student の t 検定）や，いわゆる Welch 検定（等分散かどうか問わない検定）である。授業では，歴史的な流れとして t 検定を学ぶが，実用上は，不要とも言える。このこともまた，あまり教えられていないようだ。

表 1 データを独立 2 群（サンプル数 2）のデータ x₁, x₂ として扱い， t 検定と分散分析で計算してみる。


###################################
### 等分散を仮定

x1<- c(3, 2, 2, 2)
x2<- c(1, 1, 2, 3)

# t 検定
t.test(x1, x2, var.equal=T)

# 分散分析
group<- rep(1:2, c(length(x1), length(x2)))
dat<- c(x1, x2)

oneway.test(dat ~ group, var.equal=T)

### 等分散かどうか問題にしない

# Welch t 検定
t.test(x1, x2, var.equal=F)

# Welch 分散分析
oneway.test(dat ~ group, var.equal=F)
################################

結果は省略するが，等分散の場合も，等分散であってもなくても良い場合も， t 検定と 2 群の分散分析は同じ結果になる。

分散分析の場合， F 値が，
F (1, t 検定自由度）
となり， t 値の 2 乗に等しくなり，自由度 n の t 分布に従う統計量 t の 2 乗は，自由度（1， n）の F 分布に従う，という統計学上の定理を実感できる。

余談ではあるが，分散分析が 2 群以上の平均の差の検定であることを英語で表現すると，以下のようになる。

ANOVA is used to compare the means of more than one group.

これに関しては，以下のページに解説した。

英語で，以上，以下を間違えやすい：NHKラジオ・高校生からはじめる「現代英語」

4. 1 群分散分析

さらに，一般線形モデル（General Linear Model）として分散分析を考えると， 1 群（1 標本）分散分析が， 1 群 t 検定と同等になる。これは別ページで解説した。

一般線形モデルとしての 1 群分散分析

5. Kruskal-Wallis 検定も 2 群以上の検定

ノンパラメトリック検定である Kruskal-Wallis 検定も 2 群以上の検定である。これも別ページで解説した。

Kruskal-Wallis 検定を使えば U 検定は不要：漸近と正確検定

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