一般線形モデルとしての 1 群分散分析

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分散分析と t 検定で 1 群の場合: 一般線形モデルの観点から
DOI: 10.5281/zenodo.15098339

1. はじめに

Student t 検定と分散分析の関係を論じたページ，対応ある t 検定は 1 群検定，分散分析は 2 群以上の検定，それをさらに拡張し，一般線形モデル（General Linear Model）として 1 群（サンプル数 1）分散分析を考える。

2. 1 群 t 検定と 1 群分散分析

理屈を述べるより，統計ソフト R を使って，仮想データで， 1 群（1 標本）の t 検定と一般線形モデルとしての分散分析を比べてみる。ここでは， car パッケージ の Anova 関数を利用する。

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# 仮想データ
set.seed(1)
x <- rnorm(10)

# 1 群 t 検定
t.test(x)

# 一般線形モデルとしての分散分析
library(car)
Anova(lm(x ~ 1))
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結果は以下のとおり。

t 検定の結果: 
t = 0.53557, df = 9, p-value = 0.6052

分散分析の結果: 
F = 0.2868, df = 1, 9, p-value = 0.6052

両者は，全く同じ結果だと分かる。

分散分析の場合，自由度 n の t 分布に従う統計量 t の 2 乗は，自由度（1, n）の F 分布に従う，という統計学上の定理を実感できる。

R スクリプト lm(x ~ 1) を見ると分かるとおり， 1 群の t 検定や分散分析は，回帰分析の定数項の検定と同等であることもわかる。