Excel 回帰分析のバグ？定数項なしの補正 R2

井口豊（生物科学研究所，長野県岡谷市）
最終更新：2024 年 6 月 13 日

1. はじめに

まず，回帰分析の決定係数 R² には，複数の定義があり，ソフトによって，あるいは，同じソフトでもバージョンによって，計算方法が異なり，数値が変わってくるので，その点を念頭に置く必要がある。以下のページを参照してほしい。

ここでは Excel 2019 の分析ツールを使い，次のようなデータの回帰分析を実行する。

表1. データ
x	y
1	1
2	30
3	5
4	30

2. 補正 R² の計算

補正 R² （自由度調整済み R²）を計算する。

まず，出力された最初の回帰統計の表を見る。

回帰統計
重相関 R	0.837423
重決定 R2	0.701278
補正 R2	0.367945
標準誤差	13.48415
観測数	4

補正 R² は 0.367945 である。

次に，分散分析表を見る。ここでは，決定係数の計算に必要な部分だけを示す。

分散分析表
	自由度	変動	分散
回帰	1	1280.533	1280.533
残差	3	545.4667	181.8222
合計	4	1826

ここで，合計分散は出力されないので，次のように計算する。

\begin{align} 合計分散&=\frac{合計変動}{合計自由度}\\ &=\frac{1826}{4}\\ &=456.5 \end{align}

別ページ，回帰と相関，知っているようで知らない，その本質：Excel の回帰分析を例として，その中の 7．回帰分析とはで述べたように，補正 R² は残差分散の合計分散に対する比を 1 から引いたものである。

\begin{align} 補正R^2&=1-\frac{残差分散}{合計分散}\\ &=1-\frac{181.8222}{456.5}\\ &=0.6017038 \end{align}

これは統計ソフト R で計算しても，そのような値になる。


# R スクリプト
x <- 1:4
y<- c(1, 30, 5, 30)	
summary(lm(y ~ x-1))

# 補正 R2	
summary(lm(y ~ x-1))$adj.r.squared
	
# 終了

これは前述の回帰統計表の補正 R² の 0.367945 とは全く異なる。実は，この補正 R² は，次のように重決定 R² を使っても計算できる。

\begin{align} 補正R^2&=1-\frac{合計自由度}{残差自由度}(1-重決定R^2)\\ &=1-\frac{合計自由度}{残差自由度}+\frac{合計自由度}{残差自由度}\times重決定R^2\\ &=1-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}\times0.701278\\ &=0.601704 \end{align}

前述の回帰統計表の補正 R² の 0.367945 は，この計算過程が異なるようだ。

\begin{align} 補正R^2&=1-\frac{合計自由度}{残差自由度}+重決定R^2\\ &=1-\frac{4}{3}+0.701278\\ &=0.3679447 \end{align}

これはバグと言えそうだが，補正 R² の定義が異なるというケースもありうるので注意が必要だ。

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