カイ二乗検定と Kruskal-Wallis 検定は同様な検定である
井口豊（生物科学研究所，長野県岡谷市）
最終更新： 2022 年 12 月 15 日
1. はじめに
ノンパラメトリック検定の中でも，カイ二乗検定と Kruskal-Wallis 検定は良く知られた検定法である。一般的には，前者は母比率の差の検定であり，後者は平均順位の検定と言われる。ただし後者は，中央値検定であるかのような誤解があるので，その点は注意が必要である。
このように両者は，全く異なる目的の検定であるかのように説明されるが，実際には，似た者同士なのである。
例えば， A, B, C の 3 群に，はい，いいえ
，という二件法アンケートを実施して，その結果をまとめたクロス集計表データ（表 1）を考えて見る。
単純に考えると，はい・いいえの比率を比較する検定として，カイ二乗検定が考えられる。
しかしながら，はい・いいえは二値データであり，ダミー変数 0, 1 としても扱え，そうすると，順序尺度（順位データ）とも考えられ，そうすると， Kruskal-Wallis 検定も適用できるのである。
ここでは， R を使い，シミュレーションでカイ二乗検定と Kruskal-Wallis 検定の p 値を比較してみた。
なお，Kruskal-Wallis 検定は，通常，近似検定で計算されるので，各群の標本サイズ（サンプルサイズ）が小さいと，正確な結果が得られないので注意しよう。
2. カイ二乗検定と Kruskal-Wallis 検定の p 値の変化
データは 3 群（サンプル数 3）で，それぞれセルのサンプルサイズ を 15 から 40 で変化させて，両検定の p 値を比較した。
以下が， R スクリプトである。
#############
k<- 1e+2 # 標本取り出し反復回数
p<- replicate(k, {
# 度数データ
x<- sample(15:40, size = 6, replace = T)
# 群分け
group<- factor(rep(
1:3,
c(sum(x[1:2]), sum(x[3:4]), sum(x[5:6]))
))
# 群内順位
d<- factor(rep(rep(1:2, 3), x))
c(
# カイ二乗検定
chisq.test(
matrix(x, ncol = 3),
correct = FALSE)$p.value,
# Kruskal-Wallis 検定
kruskal.test(d ~ group)$p.value
)
})
par(oma = c(3, 3, 2, 2))
# カイ二乗検定と Kruskal-Wallis 検定 p 値
plot(
p[1, ], p[2, ],
xlab = "Chi-square test p-value",
ylab = "Kruskal-Wallis test p-value",
cex.lab = 1.2,
cex.axis = 1.0
)
abline(0, 1, col = "red")
################
結果は，次の図 1 のとおりである。
カイ二乗検定と Kruskal-Wallis 検定の p 値が，ほぼ一致することが分かる。両者は，比率の検定でもあり，順位の検定でもあり，その意味で二元性を持っていると言える。