Mann–Whitney U と Spearman 順位相関は同様な検定である

井口豊（生物科学研究所，長野県岡谷市）
最終更新： 2024 年 1 月 7 日

1. はじめに

一般線形モデルとして， t 検定と回帰分析が同等な検定であることは，別ページで既に述べた。

• t 検定の正規性も残差を調べる：検定の多重性問題

特に，そのページの図 2 に描いたように， 2 群を表すダミー変数 x が 1 変化するときの傾きが，その 2 群の平均の差に相当するのである。

同様なことは，ノンパラメトリック検定である Mann–Whitney U 検定と Spearman 順位相関検定にも，ほぼ当てはまる。

U 検定と Kruskal-Wallis 検定が平均順位検定であることも，別ページで既に述べた。

• Kruskal-Wallis は平均順位検定であり，中央値検定ではない

したがって，独立 2 群をダミー変数 0, 1 で表わすと，それが 1 変化するときの平均順位の変化量を検定するのが Spearman 順位相関検定であり，その意味で， U 検定と Spearman 順位相関検定は，ほぼ同様な意味を表すと言える。

ここでは，それを統計ソフト R によるシミュレーションで確認してみよう。

2. U 検定と Spearman 順位相関検定の p 値の比較

データは 2 群（サンプル数 2）で，それぞれのサンプルサイズ を 15 から 40 で変化させて，両検定の p 値を比較した。

以下が， R スクリプトである。

なお，細かいことを言えば， Jonckheere-Terpstra 傾向検定にも言及したほうが良いのだが，それはまた別の機会にすることにした。

#############
k<- 1e+3 # 標本取り出し反復回数

set.seed(1)

p<- replicate(k, {
   # サンプルサイズ
   n<- sample(15:40, size = 2, replace = TRUE)

   # 2 群を表すダミー変数 x
   x<- rep(0:1, c(n[1], n[2]))

   # データ
   y<- runif(n = length(x), 0, 10)

   c(
   # U 検定
    wilcox.test(y ~ x)$p.value,

   # Spearman 順位相関検定
   cor.test(x, y)$p.value
   )
})

par(oma = c(3, 3, 2, 2))

# U 検定と Spearman 順位相関検定 p 値
plot(
  p[1, ], p[2, ],
  xlab = "U test p-value",
  ylab = "Spearman rank correlation p-value",
  cex.lab  = 1.2,
  cex.axis = 1.0
)

abline(0, 1, col = "red")

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結果は，次の図 1 のとおりである。

U 検定と Spearman 順位相関検定が近い p 値を取ることが分かる。両者は全く異なる状況での検定だと思う人も多いのだが，実際には，どちらも平均順位の差を表す検定なのである。このとき， Spearman 順位相関係数は，その 2 群の平均順位の差が，どのくらい明確に表されるか，という指標と考えられる。