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生物科学研究所 井口研究室
Laboratory of Biology, Okaya, Nagano, Japan
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水増し係数と割引き係数:不偏標準偏差と管理図係数

井口豊(生物科学研究所,長野県岡谷市)
最終更新:2018年11月4日

1. はじめに

統計学のはなし(大村 平 著,日科技連,2014)の中で,母標準偏差の不偏推定量を求めるのに,「水増し係数」と「割引き係数」という2種類の係数表が掲載されている。ところが,この計算式の解説が無い。ここでは,それらの係数と管理図(Control chart)係数の関連を示しながら,実際の計算を行なってみる。

なお,不偏分散の平方根,いわゆる n−1 で割る分散の平方根は,不偏標準偏差ではないので,注意すべきである。それに関しては,次のページを参照してほしい。

不偏標準偏差とは?:統計検定を理解せずに使っている人のために?

2. 水増し係数

まず,水増し係数には,管理図における係数 c4 が使われていることを理解しておく必要がある。大村も,「水増し係数」などと書かずに, c4 を用いた記述をすべきだった。大村は, p.112 で,水増し係数が,「統計の専門書には 1/c4 という記号で書いてあり」と述べているが,私としては,Xbar-s 管理図で使われる c4 を使って計算したのが「水増し係数」という印象が強い。

c4 の定義式はガンマ関数を使って次のようになる。

管理図 c4 定義式

この c4 の逆数 1/c4 は,正規母集団の標準偏差を不偏推定する係数として使われる。すなわち,不偏分散の平方根(いわゆる, n-1 で割る標準偏差)に 1/c4 を乗ずると不偏標準偏差となる。したがって,水増し係数を c とすると次のように表される。

水増し係数 c 定義式

標本の標準偏差(いわゆる, n で割る標準偏差)を使う水増し係数では, n/(n-1) の平方根を乗じた式になる。

最初に述べた c4 の定義式を代入すると,水増し係数 c は次のようになる。

水増し係数 c 計算式

統計解析ソフト R で実際に「水増し係数」を計算してみよう。

# 水増し係数 c を求める

n<- c(
  2:10, 12, 14, 16, 20, 30, 40, 50
)

c<- as.numeric(NULL)

for (i in 1:length(n)) {

 c[i]<- sqrt(n[i]/2)*gamma((n[i]-1)/2)/gamma(n[i]/2)

}

# 水増し係数表
data.frame(n, c=round(c, digits=2))
# 終了

結果は,次のようになる。

表 1. 水増し係数表

水増し係数表

「統計学のはなし」(2014)の p.112 の水増し係数表では,
n = 9 のとき, c = 1.10
n = 50 のとき, c = 1.01
となっていて,小数第2位で数字が異なる。

念のため,数値計算ソフト Maxima で,この部分を計算してみると,以下のようになる。

f(n):=sqrt(n/2)*gamma((n-1)/2)/gamma(n/2)$
float(f(9));
float(f(50));

結果は,それぞれ
1.094241683386788
1.015319194596484
となって,小数第3位で四捨五入すると, R と同じ結果となった。

3. 割引き係数

割引き係数には,管理図における係数 d2 が使われている。これもまた,大村は「割引き係数」と呼ばずに, d2 を使って説明すべきだった。 d2 は,Xbar-R 管理図 で使われる。この場合の R は,もちろん,Range(範囲) を意味する。

係数 d2 は,水増し係数で使われた c4 に比べると面倒な計算で,標準正規分布の累積分布関数を Φ(x) とすると,次のような積分値で表される。

管理図 d2 定義式

割引き係数を d とすると,それは d2 の逆数として表される。

割引き係数 d 定義式

統計解析ソフト R で実際に「割引き係数」を計算してみよう。

# 割引き係数 d を求める

n<- 2:10

d<- as.numeric(NULL)

for (i in 1:length(n)) {

fd<- function(x){
  1-(1-pnorm(x))^n[i]-pnorm(x)^n[i]
}

d[i]<- 1/integrate(fd, -Inf, +Inf, rel.tol=1e-8)$value

}

# 割引き係数表
data.frame(n, d=round(d, digits=3))
# 終了

結果は,次のようになる。

表 2. 割引き係数表

割引き係数表

「統計学のはなし」の p.113 の割引き係数表と同じ数値になった。

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