カイ二乗検定（独立性検定）から残差分析へ：全体から項目別への検定
井口豊（生物科学研究所，長野県岡谷市）
最終更新： 2024 年 1 月 4 日
1. はじめに
カイ二乗検定が，独立性の検定，つまり，独立な標本間の比率の差の検定，として用いられることは，よく知られている。しかし，カイ二乗検定は全体としての比率の違いは検出するが，個別の項目のどこに差があるかを示さない。その目的で通常行われるのが残差分析であるが，初等的な教科書には載っていないこともあって，あまり知られていない。
ここでは，カイ二乗検定とは何かを間単に説明し，その後，残差分析を解説する。さらに，多重検定としての Benjamini & Hochberg 法も紹介し，残差分析を行なっている日本語文献も紹介した。
本ウエブサイトは，以下の論文で引用されている。
山下良奈（2015）
新語の理解度の男女差と年齢差
語文 153: 78-58.
宮地功大（2020）
食事調査結果から分かった美作市民の食生活について
美作大学大学院生活科学研究科 修士論文.
岩田真一（2021）
心理的プレッシャーがパフォーマンスに及ぼす影響
—サッカー PK 戦のキック成功率の分析を通して—
東京国際大学論叢 人間科学・複合領域研究 6: 19-28.
これらのうち，山下良奈 (2015) p.42 に書かれた URL は，旧サイトなので注意して欲しい。
多項の適合度検定は，次のページ参照。2. カイ二乗検定とは何か
カイ二乗検定は，以下の式で示す χ2 値が近似的にカイ二乗分布に従う，と考えることを利用している。
分子は，観測値と期待値のズレ（残差）の二乗である。その残差の二乗の相対的大きさを見積もるために，分母の期待値で割っている。例えば， 1 と 2 の差でも， 999 と 1000 の差でも，同じく １ だが，その重みが両者で違うのが直感的に分かるだろう。その重みを考慮して，残差の期待値に対する相対的大きさを検定するのが，カイ二乗検定である。それゆえ，比率の差の検定とも言われる。この，残差の期待値に対する相対的大きさ，こそがカイ二乗検定の要諦である。
ここでは例として，3 群 A, B, C で得られた観察値 Ⅰ と Ⅱ という二値データの独立性検定を，カイ二乗検定でおこなう。二値データとは，Yes，No とか，男女とか，有無とかに分類される二者択一のデータである。それが次の表 1 のような 2 × 3 分割表にまとめられているとする。
群は標本（サンプル，sample）とも呼ばれ，この場合，標本数（サンプル数） k = 3 のように表す。一方，A の観察値の合計数 17 は，標本サイズ，または，サンプルサイズ，あるいは，標本の大きさと呼ばれ，標本サイズ n = 17 のように表す。これら標本数と標本サイズの意味を理解してない人が非常に多い（参照：サンプル数とサンプルサイズ n は意味が違う）。
表 1 は，通常，分割表（クロス表，cross table）と呼ばれるが，英語では，Contingency table （偶然表）と呼ばれることもある。各セルの期待値は，以下の式で計算される。例として， AⅠ セルの期待値の計算を示す。
ここで，≈ は，ほぼ等しい，約，を意味する記号であり，日本では，≒ を使用することに注意。
では，なぜこれが期待値なのだろうか？表 1 を再度見て欲しい。以下のことが分かる。
Ⅰ の確率: P(Ⅰ) = 34/60
A の確率: P(A) = 17/60
Ⅰ が起きる確率と A が起きる確率が独立なら，Ⅰ かつ A が起きる確率は次のようになる。
P(Ⅰ ∩ A) = P(Ⅰ) P(A)
= (34/60) × (17/60)
したがって， Ⅰ かつ A が起きる頻度は，次のように計算される。
f(Ⅰ ∩ A) = 60 × (34/60) × (17/60)
= 34×17/60
これが，カイ二乗検定検定が独立性の検定と言われるゆえんである。このようにして，各セルの期待値を求めると，次の表 2 になる。
カイ二乗検定の適用基準として，期待値が 5 未満のセルが，全体の 20％ 以上になってはいけない，とされる。これは，次のコクランの規則（Cochran's rule）と呼ばれるが，日本語の論文や解説では，まずそのような表記を見かけない。日本語でも，「コクランの規則」と明示すべきだろう。コクランの規則については，以下のページ参照：統計学の基準値の由来：5%有意水準，カイ二乗検定，相関係数の出典と引用。
繰り返すが，観察値でなく，期待値の大きさを調べるのである。つまり，表 1 でなく，表 2 の数値を見るのである。例えば，表 1 の BⅠ の観察値は 4 である。しかし表 2 で，BⅠ の期待値 6.8 であり 5 以上である。その他の期待値も 5 以上であり，あくまでこの規則を適用すれば，という前提で言えば，カイ二乗検定の適用に問題ないということになる。
ところが，そう単純な話ではない。コクランの規則を押し付けるべきではない，という詳しい解説が，黒木玄さんによってなされている。非常に参考になる意見だ。自戒を込めて引用しよう。 X （旧ツイッター）黒木玄さん解説。
自由度 df (degree of freedom) は，以下のように計算される。
df = (縦セル数 - 1) × (横セル数 - 1)
= 1 × 2
=2
自由度の説明は通常，標本数から拘束条件数を引いたもの，とされるが，必要セル数として考えてみると理解しやすい。この場合，最低限，縦も横も 2 セル必要である。そうでないと，そもそも比率を比較できないからである。 1 セルでは駄目， 2 セル以上必要ということが，自由度の式で， (縦横のセル- 1) となって現れている。
実際に，表 1 と 2 の観察値と期待値，および自由度 2 を用いて，カイ二乗検定を行うと
χ2 = 8.20, p = 0.017
となり， 3 群（3 標本）間で比率が有意に異なることが分かる。
3. 残差分析の計算
以上のカイ二乗検定の結果では，どの群の観察値に有意差があるかは不明である。それを明らかにする目的で行われるのが残差分析である。
まず，残差を前述のように求める。すなわち
残差 = 観察値 - 期待値
であり，各セルは以下の表 3 になる。
次に，残差を以下のように標準化（standardize）する。
分母にある，期待値の平方根は，残差の標準偏差，つまり標準誤差（standard error）である。この標準化残差（standardized residual） は，近似的に，平均 0，分散 1 の標準正規分布に従う。それゆえ，この標準化残差は，標準正規分布における Ｚ スコアと見なせる。
各セルの標準化残差を次の表 4 に示す。
この標準化残差を用いて，検定（p 値の算出）を行う方法も考えられる。しかし，注意して欲しいのは，表 3 の残差が Ⅰ と Ⅱ で絶対値が等しいのに，標準化残差ではそれが違う点である。この点を補正するために，次のような残差分散と呼ばれる値を求める。
各セルの残差分散を次の表 5 に示す。
この残差分散と，前述の期待値をかけたものの平方根を，改めて，標準誤差と定義し直し，標準化残差を計算し直したものを，調整済み標準化残差（adjusted standardized residual）と言う。
場合によっては，これを標準化残差と呼ぶので注意が必要である。各セルの調整済み標準化残差を次の表 6 に示す。
単純な残差と同じく，各群の Ⅰ と Ⅱ で絶対値が等しくなっていることが分かる。 Haberman (1973) が示したこの調整済み標準化残差のほうが，標準正規分布に近くなる。
この値を標準正規分布の Ｚ スコアとして，それに相当するパーセント点を求めれば，最終的な残差検定となる。 EXCEL 関数を利用する場合は，次のようにすれば，P値を求めることができる。
=2*(1-NORMSDIST(ABS(各調整済み標準化残差)))
ここで，ABSは絶対値にする関数である。
各群の p 値を次の表 ７ に示す。
これによって， C 群の比率が有意に異なっていることが分かる。
4. 残差分析の多重検定
残差分析の結果として得られた p 値を多重比較するなら，有効数字を表 7 より多くとって，例えば， Benjamini & Hochberg 法（BH法，Benjamini & Hochberg, 1995）を使って，以下のように計算される。
A: 0.12789 / (3/3)
B: 0.06820 / (2/3)
C: 0.00462 / (1/3)
この結果を表 8 にまとめた。
ただし，残差分析においては，必ずしも多重比較を考える必要はない。通常，多重比較と言えば，群間の比較，すなわち， A-B，A-C，B-C の比較を言うのが，残差分析の多重比較では，各群において実測値と期待値を比較している。したがって，例えば，最初から最も残差が大きい C 群だけに注目するならば，表 7 の p 値を使えば良いのである。
以上の検定を手っ取り早くオンラインでするなら， 田中敏（信州大）のjs-STAR 2012を使えば良い。。この中の， カイ二乗検定 ｉ×ｊ 表を利用すれば，多重比較の結果も含めて出力される。これには，統計解析ソフトＲのプログラムも出力される。
5. 残差分析を使った論文
冒頭でも述べた，本ウェブサイトを引用している山下（2015）は，「逆ギレ」，「イケメン」，「婚活」などの新語の使われ方について，年齢別，男女別の分析に残差分析を用いている。
篠田・山野（2015）は，残差分析（Table 7）によって，福島県産食品の購入を避けたい，という意識に，有意な男女差が認められ，女性のほうが，その傾向が強いことを明らかにした。
山下・坂田（2008）は，大学生の失恋からの立ち直り過程を研究し，同性友人からのサポートを受ける学生は，「傷つき」，「未練」，「断念」の経験度が高く，立ち直りの評価が低いことを，残差分析で明らかにした（Table 9）。ここでは，p 値ではなく，調整済み残差が示されている。さらに Haberman 論文で引用されているのは，Haberman (1974) である。
関連サイト
参考文献
Benjamini, Y. & Hochberg, Y. (1995)
Controlling the false discovery rate: a practical and powerful approach to multiple testing.
Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological), 57(1): 289-300.
Haberman, S. J. (1973)
The Analysis of Residuals in Cross-Classified Tables
Biometrics, 29: 205-220.
Haberman, S. J. (1974)
The analysis of frequency data
University of Chicago Press.
篠田佳彦・山野直樹（2015）
敦賀市における放射線とリスクに関する意識調査
日本原子力学会和文論文誌 14(2), 95-112.
山下倫実・坂田桐子（2008）
大学生におけるソーシャル・サポートと恋愛関係崩壊からの立ち直りとの関連
教育心理学研究，56: 57-71.