不偏分散と不偏標準偏差におけるベッセル補正

井口豊（生物科学研究所，長野県岡谷市）
最終更新：2025 年 11 月 6 日

1. はじめに

不偏分散と不偏標準偏差の計算式を要約した。

2. 補正された分散としての不偏分散

統計学において，高校生が学ぶ分散（variance）は，各測定値 x_i とその平均 x との差（偏差）を二乗して，その総和（偏差平方和）を標本サイズ（sample size）で割った値である。それを V² で表すと以下のようになる。

\begin{align} V^2=\sum_{i=1}^n \frac{(x_i-\bar{x})^2}{n} \end{align}

これが，いわゆる n で割る分散，である。 Excel では，母集団の分散（母分散） VAR.P 関数として説明されている計算である。ここで P は母集団 population を表す。

ところが，標本として得られた測定値に，この母分散の式をそのまま適用して母分散の推定値とみなすと，その期待値に偏り（bias）が生じてしまう。この偏りを補正するために， n/(n−1) を乗じて，不偏分散（unbiased variance），いわゆる n−1 で割る分散を計算することになる。それを U_v と表すと以下のようになる。

\begin{align} U_v&=\frac{n}{n-1}V^2\\ &=\frac{n}{n-1}\sum_{i=1}^n \frac{(x_i-\bar{x})^2}{n}\\ &=\sum_{i=1}^n \frac{(x_i-\bar{x})^2}{n-1} \end{align}

この因子 n/(n−1) をベッセル補正因子 Bessel correction factor またはベッセルの補正因子 Bessel's correction factor と呼ぶ。この用語での日本語の説明は少ないが，英語版 Wikipedia の Bessel's correction には説明がある。

要するに，「n−1 で割る分散が不偏分散」，というよりも，「n で割る分散をベッセル補正したのが不偏分散」なのである。補正した分散として不偏分散を説明する例は，日本語解説には少ない。

3. 補正された標準偏差としての不偏標準偏差

高校生が学ぶ標準偏差（standard deviation）は，前述の n で割る分散 V² の正の平方根である。それを S として表すと以下のような計算になる。

\begin{align} S&=\sqrt{V^2}\\ &=\sqrt{\sum_{i=1}^n \frac{(x_i-\bar{x})^2}{n}} \end{align}

これもまた，母標準偏差の不偏推定量（不偏標準偏差）ではない。以下のサイトも参照。

後者のサイトにも書いたように，正規母集団から得られた標本の場合， n で割る標準偏差 S を補正する係数が，管理図（control chart）で使われる c₄ であり，ガンマ関数を使って次のように表される。

\begin{align} c_4=\frac{\sqrt{\frac{2}{n-1}}\quad\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)} \end{align}

この c₄ とベッセル補正因子 n/(n−1) を使って， n で割る標準偏差 S を補正すると，不偏標準偏差が得られる。それを U_s と表すと以下のようになる。

\begin{align} U_s&=\frac{1}{c_4}\sqrt{\frac{n}{n-1}}S\\ 　 &=\frac{\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)}{\sqrt{\frac{2}{n-1}}\quad\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\sqrt{\frac{n}{n-1}}\sqrt{\sum_{i=1}^n \frac{(x_i-\bar{x})^2}{n}}\\ &=\sqrt{\frac{n}{2}}\quad\frac{\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\sqrt{\sum_{i=1}^n \frac{(x_i-\bar{x})^2}{n}} \end{align}

前述の参考サイト水増し係数と割引き係数で述べたように，不偏標準偏差の係数計算には，係数表を使っていた。しかし，パソコンや統計ソフトが発達した現在では，それは不要である。 Excel でも計算式さえ入力すれば，不偏標準偏差を計算できる。

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