ロバストzスコア：中央値と四分位数で，非正規分布，外れ値を含む標準化

井口豊（生物科学研究所，長野県岡谷市）
最終更新：2022年08月21日

1. 標準化とは

統計学で最もよく知られた標準化あるいは基準化は，確率変数 X を平均 0，標準偏差 1 となるように変数変換することである。変換された確率変数を z で表すと以下のようになる。

\[ z=\frac{(X-\mu)}{\sigma} \]

この z は，標準スコアあるいは z スコア と呼ばれることもある。

一般的には，平均 μ，標準偏差 σ の正規分布に従う確率変数Ｘに対して標準化が行われ， z は μ = 0，σ = 1 の標準正規分布 N(0, 1) に従う確率変数となる。ただし，正規分布以外でも，標準化は行われる。

平均と標準偏差を用いた標準化は良く知られているが，中央値と四分位数を用いた標準化は馴染みが薄い。それについて，間単に説明しよう。なお，四捨五入の誤差があるため，以下の等式では，両辺の数値が必ずしも一致しない場合もあるので，正確を期すためには，各自で実際に計算してほしい。

まず，第 3 四分位数 Q₃ （75 ％点）から第 1 四分位数 Q₁ （25 ％点）を引いた値を四分位範囲（interquartile range, IQR）と言う。

この計算を，標準正規分布の確率変数に対応させると，1.3489 となる。すなわち， z の確率分布関数をＦ(z) とすると，次のようになる。

IQR = F(0.75) − F(0.25) = 1.3489

これは EXCEL 関数でも，次のように求められる。

NORMSINV(0.75) − NORMSINV(0.25) = 0.6744 − (− 0.6744) = 1.3489

要するに，標準正規分布の平均 μ と標準偏差 σ を使って，四分位数を以下のように置き換えているのである。

Q₁ = μ − 0.6744 σ
Q₃ = μ + 0.6744 σ
IQR = Q₃ − Q₁ = 1.3489 σ

ここで， μ = 0，σ = 1 である。標準偏差と四分位偏差の対応関係については，別ページも参照してほしい（四分位偏差は，どのように使われるか？変動係数の話題も含めて）。

そして， IQR を正規分布と関係付けるために，この 1.3489 で割る。これを，正規四分位範囲（normalized IQR, NIQR）と言う。

すなわち，
NIQR = IQR / 1.3489 = IQR * 0.7413

各種文献では，割った形でなく，逆数をかけた後者の形で示されることが多い。

NIQR の定義は，四分位偏差 QD (= IQR / 2) を使って，以下のように書き直すこともできる。

\[ NIQR=\frac{QD}{0.6744\sigma} \]

ここで， σ = 1 である。

最後に，測定値を X_i，中央値（メディアン）を X_m とすると，冒頭で述べた確率変数の標準化に類似して，z が以下のように定義される。

\[ z=\frac{(X_i-X_m)}{NIQR} \]

あるいは，これを四分位偏差 QD を使って，以下のようにも表せる。

\[ z=\frac{(X_i-X_m)}{\frac{QD}{0.6744}} \]

この z を，ロバスト z スコア (robust z score) と呼ぶ。

つまり，平均を中央値に，標準偏差を標準正規分布に対応させた四分位範囲（あるいは四分位偏差）に変換した z スコアということになる。

ロバスト z スコアを使う利点は以下の通りである。

つまり，非正規分布のデータの標準化に，ロバスト z スコアが使えるのである。また， 2 に関して， NIQR は外れ値を切り取ったトリム標準偏差 (trimmed standard deviation) と言える。

ロバスト z スコアは，食品化学の分野で，成分分析に使われることがある。例えば，次の論文　p.997 左段を参照。

ロバスト z スコアの式は，日本語文献なら，例えば，以下のｐ. 366 式（4）も参照。

保母敏行ほか（2008）
日本分析化学会における標準物質の開発
分析化学，57(6), 363-392.

なお，四分位数には複数の定義があるので，その点は注意すべきである。別ページの解説参照，四分位数と四分位群：複数定義と用語の区別，その歴史。