Kruskal-Wallis 検定を使えば U 検定は不要：漸近と正確検定
井口豊（生物科学研究所，長野県岡谷市）
最終更新：2022 年 10 月 23 日
1. はじめに
Kruskal-Wallis （クラスカル-ウォリス）検定は，2 群以上の平均順位（Mean rank）の差の検定として用いられる。中央値の検定ではない，ことに注意する必要があり，それに関しては，別ページに書いた。
さらに，この検定が 3 群以上と誤って解説されることがあるが， 2 群でも，もちろん適用できる。また，この検定には，漸近検定（近似検定）と正確検定があることも意外に知られていない。実際，医療系の学術論文でこの点を見落としているのではないか，と思われるものがあり，そのデータを再分析してみた結果を 学術論文で気になるケース
で示した。
ここでは便宜上，タイ（結び，同点）が無いデータを考え，統計解析ソフト R を用いて，2 群（2 標本，サンプル数 2）の Kruskal-Wallis 検定を行なってみる。多群の検定の場合，その特徴を知るには，2 群比較を行なうのが最適な方法であることは，別の解説ページでも述べた。
以下に R を利用して Kruskal-Wallis 検定の漸近検定（近似検定）と正確検定の違いを調べてみよう。
2. Kruskal-Wallis 漸近検定（近似検定）: 2 群の場合
まず一般的に使われる kruskal.test 関数で，以下のような，共に大きさ 4 の 2 標本 a，b の検定をしてみる。なお，くどいようだが，これはサンプル数 2 で，それぞれサンプルサイズ 4 の問題である。サンプル数とサンプルサイズを混同しないでほしい（参照：サンプル数とサンプルサイズ n は意味が違う）。
以下が R の検定スクリプトである。
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# Kruskal-Wallis 検定
# データ
x1<- c(1, 3, 5, 6)
x2<- c(2, 4, 7, 9)
dat<- c(x1, x2)
grp<- rep(1:2, c(4, 4))
kruskal.test(dat ~ grp)
################
結果 p = 0.3865
これが，漸近 U 検定における p 値と同値であることは，以下のようにして確認できる。
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# Mann-Whitney U (Wilcoxon 順位和) 漸近検定，連続補正なし
wilcox.test(x1, x2, exact=F, correct=F)
################
したがって，これは 2 群の Steel-Dwass 多重検定の結果とも同値であることは，パッケージ NSM3 の中の pSDCFlig 関数を使うと確認できる。
#############
# 2 群の Steel-Dwass 多重検定
library(NSM3)
pSDCFlig(dat, grp, method="Asymptotic")
################
つまり，通常使われる Kruskal-Wallis 検定は，2 群の場合，漸近 U 検定であり，漸近 Steel-Dwass 多重検定なのである。 2 群であっても，多重検定できるのである。
この場合の漸近検定とは，漸近的にカイ二乗検定分布に近似させた検定である。ただし，標準正規分布 N (0，1) に従う確率変数 Z の 2 乗は，自由度 1 のカイ二乗分布になるので，上記のような 2 群の場合は，正規分布近似を行なっていると言っても良い。
3. Kruskal-Wallis 正確検定: 2 群の場合
さきほどと同じデータで正確検定の場合を考える。まず， U 検定を使う場合は，次のようになる。
#############
# Mann-Whitney U (Wilcoxon 順位和) 正確検定
wilcox.test(x1, x2, exact=T)
################
結果 p = 0.4857
当然ながら，さきほどの漸近検定の場合とは，結果が異なる。 p 値を詳しく算出するには以下のようにする。
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# p 値取り出し
wilcox.test(x1, x2, exact=T)$p.value
################
結果 p = 0.4857143
これを 2 群の Kruskal-Wallis 検定の正確検定として実行するには，パッケージ kSamples の中の qn.test 関数（Rank Score k-Sample Tests）を使えば良い。
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# 2 群のKruskal-Wallis 正確検定
library(kSamples)
qn.test(x1, x2, test="KW", method="exact")
################
この関数は，実に便利な優れものであって，漸近 p 値も，正確 p 値も算出される。
結果 asympt. P-value exact P-Value 0.3864762 0.4857143
したがって，この関数で Kruskal-Wallis 検定を行なえば， Mann-Whitney U 検定は不要であるとも言える。
4. Kruskal-Wallis 漸近検定（近似検定）: 3 群の場合
次に， 3 群（3 標本） x1, x2, x3 の場合を考えてみよう。すなわちサンプル数は 3 であり，サンプルサイズを，それぞれ 4, 4, 3 とする。
まず，一般的な Kruskal-Wallis 検定，すなわち，漸近検定を行なう。
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# Kruskal-Wallis 漸近検定， 3 群の場合
x1<- c(1, 3, 5, 6)
x2<- c(2, 4, 7, 9)
x3<- c(8, 10, 12)
dat<- c(x1, x2, x3)
grp<- rep(1:3, c(4, 4, 3))
kruskal.test(dat ~ grp)
################
結果 p = 0.06086
これを理論的に算出するには，まずデータ全体の順位を計算し，その中から，各群内の順位和 R1, R2, R3 を取り出し，以下の式に基づいて，検定統計量 H を求める。なお， N は全体の標本サイズ， n1, n2, n3 は各群の標本サイズである。
この H が，群数 − 1 の自由度（ここでは， 3 − 1 = 2） のカイ二乗分布に近似的に従うことを利用して p 値を求めることができる。前述のデータを利用した R のスクリプトは以下のようになる。
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# 計算式に基づく Kruskal-Wallis 漸近検定
# 全体の順位
rk<- rank(dat)
# 各群内の順位和
r1<- sum(rk[1: 4])
r2<- sum(rk[5: 8])
r3<- sum(rk[9: 11])
# Kruskal-Wallis 検定統計量
h<- 12/(11*12)*(r1^2/4+r2^2/4+r3^2/3)-3*(11+1)
# カイ二乗分布を用いた p 値の算出
pchisq(h, 2, lower=F)
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当然ながら，前述の kruskal.test 関数を用いた場合と同じ近似結果になる。
6. Kruskal-Wallis 正確検定: 3 群の場合
3 群で Kruskal-Wallis 正確検定をするためは，2 群の場合と同じく， qn.test 関数を使えば良い。ただし，正確と言っても，この場合は，シミュレーションで反復回数を多くして計算することになる。
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# Kruskal-Wallis 正確検定
library(kSamples)
qn.test(x1, x2, x3, test="KW", Nsim = 1000000, method="exact")
################
結果
asympt. P-value exact P-Value
0.06086 0.04866
前述のとおり，漸近 p 値である asympt. P-value は，通常の Kruskal-Wallis 検定の p 値である。この結果は，5%有意水準とすると，カイ二乗近似による漸近検定では有意差無しだが，正確検定では有意差ありとなり，異なった結論になるのである。
Steel-Dwass 検定の場合と同じく，問題は，自分が使うソフトやプログラムが，どちらの方法を採っているか知らずに，あるいは，区別があることすら知らずに，それらを使う場合である。例えば， R ベースの有名なフリーソフト EZR の Kruskal-Wallis 検定も漸近法である。
8. 学術論文で気になるケース
漸近検定か正確検定か，それを考慮せずに Kruskal-Wallis 検定を利用したように思われるの医学論文が藤本保志ほか（1997）である。文献は，末尾に挙げた。
Kruskal-Wallis 検定が行なわれた表 3 のデータで，私が気になったのは，項目 D 「逆流」の結果である。
患者を舌切除範囲によって，なし・部切・半切・亜全摘または全摘の 4 群に分けている。 部切は10例となっているが，表 1 を見ると，部切は 9 例しかなく，たぶん，表 1 が間違えていて，症例 8 は，なし，ではなく，部切，であろう。
実際に，この逆流項目Dを，Kruskal-Wallis 漸近検定と正確検定で調べてみよう。
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## 藤本ら（1997）データ
# 症例番号（表1）
ex<- 1:22
# 舌切除範囲（表1）
# 0:なし, 1:部切, 2:半切, 3:亜全摘・全摘
r<- c(
1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3,
3, 3
)
# 逆流スコアD（表2）
D<- c(
8, 5, 8, 8, 9, 10, 8, 8, 8, 8,
4, 10, 10, 10, 3, 6, 8, 6, 8, 6,
4, 2
)
# データフレーム
dat<- data.frame(ex, r, D)
まず，Dの平均と標準偏差をチェックする。
# 平均
tapply(dat$D, dat$r, mean)
# 標準偏差
tapply(dat$D, dat$r, sd)
################
結果
平均
0 1 2 3
9.000000 7.700000 6.833333 4.000000
標準偏差
0 1 2 3
1.000000 1.888562 2.401388 2.000000
それぞれ，論文の表 3 の D の統計量に一致することが確認できる。
次に， Kruskal-Wallis 検定を実行する。先に述べたように， qn.test 関数を使えば，漸近検定でも正確検定でも，その結果が出力される。ただし，データをリスト化して渡すことに注意する。
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# Kruskal-Wallis 検定，漸近と正確
library(kSamples)
dat.lt<- tapply(dat$D, dat$r, list) # D データのリスト化
qn.test(dat.lt, test="KW", Nsim = 1000000, method="exact")
################
結果
asympt. P-value sim. P-Value
0.05549 0.04130
5％水準で，漸近検定では有意差無し，正確検定では有意差有り，となる。
論文の表 3 を見ると， D は， p < 0.05 のアスタリスク＊が付いていないので，おそらく漸近検定で分析したものだろうと推測される。本文でも，総合点のみ有意差を認めた，というような表現になっている。
この正確検定の結果が，藤本ら（1997）の結論を変えるものではない。しかしながら，通常の検定が漸近検定であることに気づいていなかったとしたら，データ解析上の問題点として挙げられる部分である。
6. Kruskal-Wallis 漸近検定（近似検定）の必要標本サイズ
Kruskal-Wallis 検定が近似計算するために必要となる標本サイズについては，別ページに解説した。
それによると， 1 群あたり 20 個以上のデータが必要である。前述の藤本ら（1997）のデータの場合， 4 群で合計 n = 22 なので， Kruskal-Wallis 漸近検定（近似検定）としては，標本が小さすぎる。
参考文献
藤本保志・松浦秀博・田山二朗・中山敏・長谷川泰久（1997）
口腔・中咽頭癌治療後えん下機能評価基準の提案とその評価成績
日本気管食道科学会会報, 48(3), 234-241.