多重比較 Steel-Dwass 正規近似と正確検定： U 検定が基準
井口豊（生物科学研究所，長野県岡谷市）
最終更新：2023 年 1 月 8 日
多重比較検定の一種である Steel-Dwass 多重検定は， Tukey-Kramer検定のノンパラメトリック版である，という説明は，ウェブページでもしばしば見かける。しかし，この多重検定の基礎となるのが， Wilcoxon 順位和検定（Mann-Whitney U 検定）であることを説明したウェブサイトは意外と少ない。日本語の論文で，そのことを説明しているのは，白石高章（2011）や柳澤健太郎ほか（2007）である（文献は末尾に掲載）。
また，通常使われる Steel-Dwass 検定は，漸近 U 検定であり，それとは別に正確検定があることは，さらに知られていない。
ここでは，統計解析ソフト R を用いて， Steel-Dwass 検定と U 検定の関係を探ってみよう。R で Steel-Dwass 検定を実行する場合は，パッケージ NSM3 の中の pSDCFlig 関数を使うと良い。このパッケージをインストールした上で，2 群（2 標本，サンプル数 2）の検定を行なってみる。多群比較の検定の場合，その特徴を知るには，2 群の比較を行なうのが最適な方法である。
pSDCFlig 関数の説明を読むと， method オプションとして，次の 3 種類， Exact, Monte Carlo, Asymptotic，つまり，正確，モンテカルロ，漸近 の 3 種類が用意されていることが分かる。このうち，特に， Exact 法と Asymptotic 法を取り上げ，以下のような，共に大きさ 4 の 2 標本 a，b の検定をしてみる。なお，便宜上，タイ（結び，同点）が無いデータを考える。くどいようだが，サンプル数 2 で，サンプルサイズ 4 である。両者を混同しないでほしい。これらの用語の誤用については，次のページ参照，サンプル数とサンプルサイズ n は意味が違う。
話を戻して，まず， Exact 法を実行。
# Steel-Dwass 検定 # データ a<- c(1, 3, 5, 6) b<- c(2, 4, 7, 9) dat<- c(a, b) grp<- rep(1:2, c(4, 4)) # 正確検定 library(NSM3) pSDCFlig(dat, grp, method="Exact") # 終了
p = 0.4857 となる。これが，正確 U 検定における p 値と同値であることは，以下のようにして確認できる。
# Mann-Whitney U (Wilcoxon 順位和) 正確検定
wilcox.test(a, b, exact=T)
Steel-Dwass 正確検定は，まさに，正確 U 検定をベースにして成り立っているのである。
次に，同じデータで 漸近検定を実行。
# 漸近検定 pSDCFlig(dat, grp, method="Asymptotic")
p = 0.3865 となる。これが，漸近 U 検定における p 値と同値であることは，以下のようにして確認できる。
# Mann-Whitney U (Wilcoxon 順位和) 漸近検定，連続補正なし wilcox.test(a, b, exact=F, correct=F)
Steel-Dwass 漸近検定は，まさに，漸近 U 検定をベースにして成り立っているのである。ここで言う漸近法とは，漸近的に正規近似させた方法である。2 群の標本サイズを n1，n2 とすると，それらが大きくなるにつれ，検定統計量 U は，次のような平均 E，分散 V の正規分布に近づく。いわゆる中心極限定理の例とも言える。
したがって，検定統計量 U は ，平均 0，分散 1 の標準正規分布に従う統計量 Z に変換できる。
いわゆる Z 検定をすれば良い。 R で計算してみる。
# 正規近似
n1<- length(a)
n2<- length(b)
E<- n1*n2/2
V<- n1*n2*(n1+n2+1)/12
U<- wilcox.test(a, b, exact=F, correct=F)$statistic
Z<- abs(U-E)/sqrt(V)
pnorm(Z, lower=F)*2
# 終了
結果は，p = 0.3864762 となり， Steel-Dwass 検定の漸近法は， U 検定の正規近似をベースにして成り立っていることが分かる。したがって，標本サイズが大きければ漸近 Steel-Dwass 検定で良いが，標本サイズが小さい場合， n1，n2 が 10 以下のような場合は，正確検定を使うべきである。
問題は，自分が使うソフトやプログラムが，どちらの方法を採っているか知らずに，あるいは，区別があることすら知らずに，それらを使う場合である。例えば，ウェブ上で時々参照される青木氏によるスティール・ドゥワス(Steel-Dwass)の方法による多重比較は，漸近検定である。
その R スクリプトの下から5行目
p <- ptukey(t*sqrt(2), ng, Inf, lower.tail=FALSE) # P 値を計算
を見て欲しい。
ptukey 関数で，スチューデント化された範囲分布を使って p 値を求めているのだが，引数として，自由度の無限大（Inf）に設定している。これが，正規近似の設定なのである。
R ベースの有名なフリーソフト EZR のSteel-Dwass 検定も漸近法である。このようなことを知らずに使っている人も多いような気がする。例えば，藤井貴允ほか（2013）は，その点で気になる。彼らは， 16 人， 9 人， 7 人の 3 群の代表値の比較に，前述の青木氏のプログラムを利用して，Steel-Dwass 検定を実行しているのだが，正確法で検定しても良かったケースである。
なお，ここでは， U 検定（Wilcoxon の順位和検定， Wilcoxon rank-sum test）を扱ったが，対応のあるデータに対しては， Wilcoxon の符号付順位検定（Wilcoxon signed rank test）が使われる。この場合，関数 wilcox.test の引数で， paired = TRUE と指定すれば良い。
さらに，同点（タイ, tie） がある場合は，exactRankTests パッケージの wilcox.exact 関数，または， coin パッケージの wilcox_test あるいは wilcoxsign_test 関数を使えば良い。
関連サイト
参考文献
藤井貴允ほか（2013）
立ち上がり動作の内部股関節伸展モーメント産出に影響する筋機能の加齢変化
理学療法科学 28 (4): 463-468.
白石高章（2011）
多群モデルにおけるすべての平均相違に関する閉検定手順
計量生物学 32 (1): 33-47.
柳澤健太郎ほか（2007）
RDB データベースにおける信用リスクモデルの説明力の年度間推移に関する分析
日本金融・証券計量・工学学会 2007 年夏季大会予稿集: 249-263.