ウェルチ多重検定と2群の分散分析 t検定，Rのpairwise.t.test
井口豊（生物科学研究所，長野県岡谷市）
最終更新：2018年11月12日
フリーの統計解析ソフト R には，パラメトリック多重検定を行なうのに便利な関数として pairwise.t.test がある。 pairwise という名称の通り，2群ずつ対にして多重検定を行なうのだが， pairwise.t.test が，等分散を仮定した t 検定なのか，ウェルチ（Welch）検定なのか，意外と知られていないし，ウェブ解説もほとんどない。
それを知るには，実際に調べてみれば良い。ここでは，単純なモデルとして 2 群の分散分析（ANOVA）を考え，ボンフェローニ（Bonferroni）法で検定してみる。
ここで注意したいのは，分散分析は 2 群以上の平均値の差の検定であり，2 群の分散分析は t 検定そのもの，ということである。この背景には，自由度 n の t 分布に従う統計量 t の 2 乗は，自由度（1， n）の F 分布に従う，という統計学上の定理がある。論文などで，F（1，n）と書かれている場合は，t 検定をやっているのと同じなのである。
もちろん 2 群だけを用いた対比較（paired comparison）に， pairwise.t.test 関数を使うことも可能であり，これまた 3 群以上の場合だと誤解しないでほしい。
次のような 2 群 x1，x2 を考える。
x1<- c(2, 2, 3) x2<- c(4, 8, 11)
この場合，2 標本検定（two-sample test）なのでサンプル数（number of samples）は 2 である。一方で，標本の大きさ，つまり，サンプルサイズ（sample size）は共に 3 である。このサンプル数とサンプルサイズについても，混同する人が非常に多い（参照：サンプル数とサンプルサイズ n は意味が違う）。
それでは，実際に検定を進めてみよう。まず， pairwise.t.test を使い，ボンフェローニ法で計算する。特に， p 値に注目する。
dat<- c(x1, x2) grp<- rep(c(1, 2), c(3, 3)) pairwise.t.test(dat, grp, p.adj = "bonf")$p.value
結果，
t tests with pooled SD
p = 0.06033057
次に，このデータで， t 検定を行なう。
t.test(x1, x2)$p.value
結果，
Welch Two Sample t-test
p = 0.1155964
これは，不等分散のオプションを指定して，次のようにしても同じである。
t.test(x1, x2, var.equal=F)$p.value
つまり， R では，デフォルトの t 検定は， Welch 検定なのである。これは， t 検定の種類を決める際に，等分散検定の結果で判断することは，理論的にも，結果的にも望ましくないからである。それに関しては，次のページ参照，等分散検定から t検定，ウェルチ検定，U検定への問題点。
一方で，等分散を仮定した t 検定を行なうと
t.test(x1, x2, var.equal=T)$p.value
結果，
p = 0.06033057
である。
前述のとおり，この t 検定の結果は，2群の分散分析としても得られる。その場合は， oneway.test 関数を使うと良い。
# 等分散仮定の分散分析 oneway.test(dat~grp, var=T)$p.value # Welchの分散分析 oneway.test(dat~grp, var=F)$p.value
p 値は，それぞれ， t 検定の場合と一致する。
これらの t 検定の p 値を， pairwise.t.test の p 値と見比べてみると分かるが， pairwise.t.test は，デフォルトで等分散 t 検定を行なっているのである。それが出力結果の説明にもあった pooled sd （プールされた標準偏差）の意味でもある。
もし， pairwise.t.test 多重検定で， Welch 検定を利用したければ，標準偏差をプールしなければ良いので，オプション pool.sd を F とすれば良い。
pairwise.t.test(dat, grp, p.adj = "bonf", pool.sd=F)$p.value
結果
p = 0.1155964
前述の t.test 関数による Welch 検定の結果と同じになる。
なお， pairwise.t.test のヘルプを読むと，オプション pool.sd を True とするのは，小さな標本（サイズが小さい標本）が存在する場合に役立つと書かれている。