東大入試数学の近似数値積分を統計ソフトRで考える

井口豊（生物科学研究所，長野県岡谷市）
最終更新：2018年11月12日

ネット上で興味深い数値計算問題に出会った。東京大学（2007年前期）・数学（理系）の第 6 問 (2) である。

(1) で上記の不等式を証明させ，(2) でそれを利用して，

を導かせる問題であった。 不等式の中の積分区間の大きさが 2x なので，左辺は積分値の長方形近似であり，右辺は台形近似であることが，すぐ分かる。もちろん，両方とも台形近似とみなすことも可能である。

この問題 (2) は，積分区間をさらに細かくしていって，(1) の不等式の辺々の和を考えるので，パソコン利用に好適な問題とも言える。

以下が R のスクリプトで，積分区間を等分しない場合から， 20 等分した場合まで，上記不等式の左右の辺で表される近似値の変化を示した。

k<- 1:20 # 等分割数
lw<- as.numeric(NULL)
up<- as.numeric(NULL)

for (i in 1: length(k)) {

  lw[i]<- 0
  up[i]<- 0

  for (j in 1: k[i]) {

  x<- 1/(2*k[i])
  a<- (2*j-1)*x+1

  lw[i]<- 2*x/a+lw[i]
  up[i]<- x*(1/(a+x)+1/(a-x))+up[i]
 }   
}

plot(k, lw, main="1/x 積分による log(2) 近似",
   ylim=c(0.66, 0.76), xlim=c(0, 20), 
   col="blue", pch=1, type = "b",
   xlab="等分割数", ylab="近似積分値",
   yaxp=c(0.66, 0.76, 10), xaxp=c(0, 20, 4))

axis(side=2, at=0.66: 0.76)

lines(k, up, type = "b", col="red", pch=4)

legend("topright", c("台形近似", "長方形近似"),
    col=c("red", "blue"), pch=c(4, 1), lw=2, bty="n")

abline(h = log(2))
mtext("log(2)", side=2, line=2, las=1, at=c(1, log(2)))

abline(h = 0.68)
abline(h = 0.71)

結果のグラフは以下のとおり

左辺の長方形近似のほうが，右辺の台形近似より，やや速く log(2) に近づくのが分かる。入試問題の条件を満たすには，2 等分で十分であり，紙と鉛筆向けの問題となっている。しかし，今どき，これを紙と鉛筆で解かせるという発想も芸が無い。もう少し複雑にして，パソコンで解かせる入試を考えてほしいものだ。