四分位偏差は，どのように使われるか？変動係数の話題も含めて
井口豊（生物科学研究所，長野県岡谷市）
最終更新：2024 年 2 月 6 日
1. 四分位偏差
四分位偏差（quartile deviation）は，略して QD とも呼ばれ，その定義式を述べる必要ないかもしれないが，改めて書いておく。
ここで， Q3 は第 3 四分位数， Q1 は第 1 四分位数である。要するに，四分位偏差は四分位範囲の半分である。この四分位数は四分位点とも呼ばれる。
中央値を利用したデータのバラツキ指標には，他にも中央絶対偏差 (median absolute deviation) がある。それについては，以下のページを参照。
2. 平均と標準偏差に対して，中央値と四分位偏差
まず，中央値と四分位数に対して，平均と標準偏差の関係を下記のように表すことができる。
- 第 1 四分位数，中央値，第 3 四分位数
- 平均 − 標準偏差，平均，平均 + 標準偏差
ここで言う対応関係は，同値であると言う意味ではなく，概念的に対応させると，どうなるか，という意味である。統計学的に厳密な話をするならば， μ とか， σ とかいった文字を使用するべきだろうが，ここは分かりやすさを優先した記述にする。
略号で簡潔に表すと，次の表 1 のようになる
ここで，（平均プラス標準偏差）と（平均マイナス標準偏差）の差を 2 で割ると，標準偏差になる。式で書いたほうが分かりやすい。
表 1 の対応関係を見ながら，同様な計算を四分位数におこなうと，それが四分位偏差であることが分かる。
ネット上などでは，四分位範囲をなぜ 2 で割るかとか，四分位偏差は役立たないとか，そういう発言も見られるが，標準偏差との対応関係で言えば，四分位数で表すバラツキの指標は四分位偏差である，と言える。
3. 四分位偏差は，どんなバラつきを表すのか？
正規分布や一様分布のように，左右対称の形状を持つ確率分布ならば，第 1 四分位数と第 3 四分位数の平均が中央値となる。
第 1 四分位数と第 3 四分位数の平均は，中央ヒンジ（midhinge）と呼ばれる，分布の位置の代表値でもある（例えば，英語版 Wikipedia midhinge 参照）。
上記の等式は，左右対称の分布でなければ成り立たないのだが，後述するように，左右対称分布であるかのように，あるいは，そう見なすような場合が少なくない。そのため私が，この式が一般的に成り立つかのような説明を，特に統計学に不慣れな人にしてしまい，混乱させてしまうことがあり，申し訳なく思っている。
その一方で，これは間違いだ，と指摘する人もいるが，それも極論であり，成り立つ場合と成り立たない場合がある，というのが正しい解釈であろう。
同様に不適切な説明が高校教科書にもある（あった），ということで，小林（2013）が批判している。参考文献は，末尾に一括して挙げたが，小林（2013）が例えば， p. 66 で取り上げたのは，新 高校の数学 Ⅰ （数研出版） 132 頁の記述で，四分位範囲，四分位偏差は，中央値のまわりのデータの散らばり具合を表す値
，という説明であった。
小林（2013）は，次のページ p. 67 で，四分位偏差は中央の 50％ のデータがこれこれの範囲に入っている，というだけであり
，と批判している。他の教科書も含めて，同様な指摘がされているが，詳しくは，その論文を参照してほしい。
これは，四分位偏差は中央の 25％，または，四分位範囲は中央の 50％ ，ということの誤記であろうが，「中央値のまわりの散らばり」と言いたい（言ってしまう？）教科書の気持ちも分かる。ここで，左右対称分布ならば，四分位範囲や四分位偏差が，中央値のまわりのデータの散らばりを表すとも言えるからである。
4. 四分位数による相対的なバラつきの指標
データ分布の位置の代表値に対する，相対的なバラつきの大きさの指標として，よく知られたものが変動係数（CV, coefficient of variation）であり，標準偏差を平均で割った値として表される。
これまで述べてきたように，これを四分位偏差 QD と中央値 Md を使って置き換えて，新たな相対的なバラつき指標 CQD を考えると，以下のようになる。
このとき，左右対称な分布を考えると，前述の中央ヒンジを使って，以下のように変形できる。
これを整理すると，以下のようになる。
この CQD は，四分位偏差係数（coefficient of quartile deviation）と呼ばれ，四分位数を使った変動係数と言えるものである。なお，「左右対称な分布を考えると」と述べたが，結果的には，左右非対称な分布であっても適用できる形になっている。しかし，当然であるが，非対称な分布の場合，分母に，中央値を使うか，中央ヒンジを使うかによって，四分位偏差係数の計算結果が異なる。
英語版 Wikipedia では， Quartile coefficient of dispersion という名称になっているが，私としては， dispersion より deviation を使う例のほうが多い気がする。
4. 四分位偏差がどのように使われるか
四分位偏差は役立たたない，という意見が，なぜかネット上で見られるが，学術論文では，しばしば使われるのも事実である。以下の文献の出典は，最後の参考文献にまとめて書いた。
例えば，阿部ほか (2014)， p. 13 右段の結果の記述に，棒グラフは全被験者の中央値を表しており，エラーバーは四分位偏差を表している
，と書かれている。
内山・山内 (2010)，p. 202，Table 3 の説明文に， Median ± Quartile deviation
と書かれている。
Dejima H. et al. (2017)，冒頭の Abstract に， median ± quartile deviation
と書かれている。
四分位偏差係数についても， Geilert et al. (2020) の p. 8, Fig. 7，ケイ素同位体のグラフで， median fluid δ30Si value (error bar equals the coefficient of quartile deviation)
，つまり，中央値の上下に四分位偏差係数のエラーバーを付けている。
要するに，中央値を挟んだ上下の範囲が四分位範囲，という表現になっている。つまり，第 1 四分位数と第 3 四分位数の平均が中央値となる，という表現なのである。
もちろん，これは左右対称な分布でないと成立しない性質である。しかし，特にそれに触れることなく四分位偏差が使われている。逆に言えば，そのような条件が成り立つ，あるいは，そう見なせるときこそ，簡潔にデータ分布の範囲を示すのに，四分位偏差が有用である，と私は思っている。
ロバスト z スコアを用いた標準化も，標準正規分布の平均の両側 50％ を四分位範囲に対応させて計算するので，基本的には，左右対称に近い（外れ値があるが），という条件で適用したほうが良いと思われる。
5. 岡谷市の蛇紋岩
全く統計とは関係ないが，前述の Geilert et al. (2020) 論文で研究されているのは，マリアナ前弧の蛇紋岩（serpentinite）である。この蛇紋岩という岩石は，岡谷市の横川川上流域でも露出が見られ，その黄色の模様ゆえに，昔から「きなこ石」として親しまれてきた。この機会に紹介しておこう。
関連ページ
ロバストzスコア：中央値と四分位数で，非正規分布，外れ値を含む標準化
参考文献
阿部誠・新沼大樹・吉澤誠・杉田典大・本間経康・山家智之・仁田新一 (2014) 生理的指標を用いた3次元映像の生体影響評価における心理的影響の変化. 生体医工学 52(1): 11-17.
Dejima, H., Takahashi, Y., Hato, T., Seto, K., Mizuno, T., Kuroda, H., Sakakura N., Kawamura, M., and Sakao, Y. (2017) Mediastinal pulmonary artery is associated with greater artery diameter and lingular division volume. Scientific reports 7(1); 1-9.
Geilert, S., Grasse, P., Wallmann, K., Liebetrau, V., and Menzies, C. D. (2020) Serpentine alteration as source of high dissolved silicon and elevated δ30Si values to the marine Si cycle. Nature communications 11(1): 1-11.
小林道正 (2013) データ分析における「箱ひげ図」の誤解 — 高校教科書における多数の誤り —. 中央大学論集 34: 57-68.
内山敏聡・山内龍男 (2010) 紙における墨のにじみとその評価. 繊維学会誌 66(8): 199-203.