Mann-Whitney U 検定の統計量: R による注意点

井口豊（生物科学研究所，長野県岡谷市）
最終更新： 2023 年 10 月 22 日

1. U 検定の統計量の計算

まず， Mann-Whitney U 検定（Wilcoxon 順位和検定）の統計量を， Wikipedia マン・ホイットニーのU検定に挙げられたうさぎとかめのデータ例で確認する。

日本でも良く知られたイソップ寓話のウサギとカメ The Tortoise and the Hare を題材にして，それぞれ 6 匹のウサギとカメが，以下の表 1 の順番でゴールしたとする。

表 1．ウサギとカメの競争結果
順位	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
動物	カメ	ウサギ	ウサギ	ウサギ	ウサギ	ウサギ	カメ	カメ	カメ	カメ	カメ	ウサギ

U 検定では，それぞれの動物の順位の合計を計算して比較する。それゆえ，この検定は，順位和または順位平均の検定であり，中央値の検定ではない，ので注意が必要である。

カメとウサギの順位和をそれぞれ， R₁ R₂ とすると，次のように表される。便宜上，同着（同順位）が無いデータとなっている。

カメの順位和 R₁ = 1 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 46

ウサギの順位和 R₂ = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 12 = 32

したがって，カメとウサギの検定統計量をそれぞれ， U₁ U₂ とすると，次のように表される。

$カメの検定統計量 U1$

$ウサギの検定統計量 U2$

Wikipedia に書かれているように，通常は，これらの統計量のうち，小さいほうの U₁ の数値 11 を使って検定を進めるが，どちらを使うかは，あくまで便宜上のことである。実際，以下のような関係式が成り立つ。

$U1 + U2 = n1*n2$

この点は，統計ソフトで自動的に処理されるので， p 値を知るだけなら問題ないが，どちらの検定統計量なのか注意する必要がある。

前述の順位データを R の wilcox.test 関数を使って計算すると，以下のようなスクリプトになる。日本語入力でも出来るが，なるべく英語入力のほうが良い。ちなみに，tortoise（カメ）で最も有名なものは Galápagos Giant Tortoise （ガラパゴスゾウガメ）だろう。　　

# 入力順位データ
# カメ tortoise
# ウサギ hare

tortoise<- c(1, 7, 8, 9, 10, 11)
hare<- c(2, 3, 4, 5, 6, 12)

# U 検定
wilcox.test(tortoise, hare)

### 終了

結果は，以下の図 1 のようになった。

R の wilcox.test による U 検定

図 1. R の wilcox.test による U 検定の結果出力

検定統計量は W として出力される。これは，前述の U₁ U₂ と比べると， W は大きいほうの U₂ なのである。この点に注意する必要がある。