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生物科学研究所 井口研究室
Laboratory of Biology, Okaya, Nagano, Japan
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カイ二乗検定と分散分析は同様な検定である

井口豊（生物科学研究所，長野県岡谷市）
最終更新： 2023 年 1 月 15 日

1. はじめに

母比率の差の検定として，カイ二乗検定はノンパラメトリック検定の代表格である。一方，母平均の差の検定として，分散分析はパラメトリック検定の代表格である。このように両者は，全く異なる目的の検定であるかのように説明されるが，実際には，似た者同士なのである。

例えば， A, B, C の 3 群に，はい，いいえ，という二件法アンケートを実施して，その結果をまとめた 2×3 クロス集計表データ（表 1）を考えてみる。

表 1．はい，いいえ 3 群のクロス集計
群ABC
はい233514
いいえ251836

このような場合，はい・いいえの比率を比較する検定として，まずカイ二乗検定が考えられる。

しかしながら，はい・いいえは二値データであり，ダミー変数 0, 1 にすると間隔尺度とも考えられ，分散分析が適用できるのである。

ここでは， R を使い，シミュレーションでカイ二乗検定と分散分析の p 値を比較してみた。

2. カイ二乗検定と分散分析の p 値の変化

データは 3 群（サンプル数 3）で，それぞれセルのサンプルサイズ を 15 から 40 で変化させて，両検定の p 値を比較した。

以下が， R スクリプトである。 


#############
k<- 1e+2 # 標本取り出し反復回数

p<- replicate(k, {
   # 度数データ
   x<- sample(15:40, size = 6, replace = T)

   # 群分け
   group<- factor(rep(
      1:3, 
      c(sum(x[1:2]), sum(x[3:4]), sum(x[5:6]))
      ))

   # ダミー変数
   d<- rep(rep(0:1, 3), x)

   c(
   # カイ二乗検定
   chisq.test(
     matrix(x, ncol = 3),
     correct = FALSE)$p.value,

   # 分散分析
   anova(aov(d ~ group))$Pr[1]
   )
})

par(oma = c(3, 3, 2, 2))

# カイ二乗検定と 分散分析 p 値
plot(
  p[1, ], p[2, ],
  xlab = "Chi-square test p-value",
  ylab = "Anova p-value",
  cex.lab  = 1.2,
  cex.axis = 1.0
)

abline(0, 1, col = "red")

################

結果は，次の図 1 のとおりである。

カイ二乗検定と分散分析 p 値

図 1. p 値の比較: カイ二乗検定と分散分析

カイ二乗検定と分散分析の p 値が，ほぼ一致することが分かる。両者は，母比率の検定でもあり，母平均の検定でもあり，その意味で二元性を有する。

カイ二乗検定は， 2×2 クロス集計表の場合，パラメトリック検定である z 検定と同一の式で表されることも知っておいて欲しい。それに関しては，関連サイトで扱っている。

関連サイト

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